Aula 02 de Lógica

Implicação

Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A → B) (lê-se A implica B) , a implicação de B por A.
A proposição A chama-se antecedente da implicação (A → B) (lê-se A implica B) e B chama-se o consequente da implicação (A → B).
Postulamos que a proposição (A → B) é falsa se e somente se o antecedente A é verdadeiro e o consequente B é falso. Nos demais casos, a proposição (A → B) é verdadeira.
As considerações acima podem ser esquematizadas como se segue:

Tabela-verdade da implicação:

A	B	(A →B) (A implica B)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Consideremos as seguintes proposições:
1) [(2 + 4 = 4) →(1 ≤ 2)] verdadeira
2) [(2 + 4 = 4) →(1 ≥ 2)] falsa
3) [(2 + 4 ≠ 4) →(1 ≤ 2)] verdadeira
4) [(2 + 4 ≠ 4) →(1 ≥ 2)]verdadeira

Observação. Teçamos algumas considerações sobre a tabela-verdade referente à implicação.
1) A tabela é positivamente obscura no uso ordinário. Vejamos alguns exemplos.
Leis causais. Quando a implicação lógica é interpretada como causar na linguagem natural.
1. Sejam as sentenças

A ≡ “Este pote d’água for colocado no fogo no instante t 0 ” e
B ≡ “A água congelará”.

A sentença A só é falsa no caso de o pote não ser colocado no fogo no instante indicado. Coloquemos o pote no fogo num instante t distinto de t 0 . Logo, A é falsa.
Consideremos a sentença
(A → B) ≡ “Se este pote d’água for colocado no fogo no instante t 0 então a água congelará”.
De acordo com a tabela-verdade da implicação, (A → B) é verdadeira, independentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situação absurda !

Bi-implicação

Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A ↔ B) (lê-se A bi-implica B), a bi-implicação de A e B.
Postulamos que a proposição (A ↔ B) (lê-se A bi-implica B) é verdadeira se e somente se as proposições A e B possuem o mesmo valor-verdade. A proposição (A ↔B) é falsa se e somente se as proposições A e B tiverem valores-verdade trocados.
As considerações acima podem ser esquematizadas como se segue:

Tabela-verdade da bi-implicação:

A	B	(A↔B) (A bi-implica B)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Consideremos as seguintes proposições:
1) [(2 + 4 = 4) ↔ (1 ≤ 2)] verdadeira
2) [(2 + 4 = 4) ↔ (1 ≥ 2)] falsa
3) [(2 + 4 ≠ 4) ↔ (1 ≤ 2)] falsa
4) [(2 + 4 ≠ 4) ↔ (1 ≥ 2)] verdadeira

A seguir apresentamos algumas leituras que a negação, conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação podem ter na linguagem natural.

(¬A)

Não A;
Não se dá que A;
Não é fato que A;
Não é verdade que A;
Não é que A;
Não se tem A.

(A∧B)

A e B;
A, mas B;
A, embora B;
A, assim como B;
A e, além disso, B;
Tanto A como B;
A e também B;
Não só A, mas também B;
A, apesar de B.

(A∨B)

A ou B ou ambos;

A, mas B.

(A→B)

se A, então B;
se A, isto significa que B;
tendo-se A, então B;
quando A, então B;
sempre que A, B;
B, sempre que se tenha A;
B, contanto que A;
A é condição suficiente para B;
B é condição necessária para A;
Uma condição suficiente para B é A;
Uma condição necessária para A é B;
B, se A;
B, quando A;
B, no caso de A;
A, só se B;
A, somente quando B;
A, só no caso de B;
A implica B;
A acarreta B;
B é implicada por A.

(A↔B)

A se e só se B;
A se e somente se B;
A quando e somente quando B;
A equivale a B;
Uma condição necessária e suficiente para A é B;
A é condição necessária e suficiente para B.

Tautologia

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, … será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, … que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia.
Exemplo: A proposição ((p ∧ q) → q) (lê-se p e q implica q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade.

p	q	(p ∧ q) (p e q)	((p ∧ q) → q) (p e q implica q)
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

 

Contradição

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, … será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p,q,r … que a compõem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSOS, então estaremos diante de uma contradição.
Exemplo: A proposição (p ↔~p) (lê-se p bi-implica p) é uma contradição, pois sempre é falsa independentemente do valor lógico de p, como é possível observar na tabela-verdade abaixo:

p	¬p	(p↔¬p) (p bi-implica não p)
1	0	0
0	1	0

Contingência

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia ou uma contradição. Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela verdade. Se você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!
Exemplo: A proposição (p ↔ (p ∧ q)) (lê-se p bi-implica p e q) é uma contingência. Porque essa proposição é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição. Vejamos sua tabela-verdade a seguir.

p	q	p∧q	p↔(p∧q)
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	0	1
0	0	0	1