Para lembrar da aula anterior, veja a tabela abaixo:
| Linguagem Simbólica | Linguagem Corrente | Matemática |
|---|---|---|
| ¬ | não | Modificador |
| ^ | e | Conjunção |
| ˅ | ou | Disjunção |
| → | se...então | Implicação ou condicional |
| ↔ | se...e somente se | Bicondicional ou equivalência |
Equivalência Lógica
Diz-se que as proposições p e q são logicamente equivalentes, e escreve-se p≡q (lê-se p idêntico a q ou p equivalente a q), quando p e q tem a mesma tabela verdade.
Exemplo:
Leis de De Morgan
- ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q (lê-se não p e q idêntico a não p ou não q)
- ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q (lê-se não p ou q idêntico a não p e não q)
Negação
A negação de uma proposição p, indicada por ¬p (lê-se não p) (e ~p (lê-se não p) por alguns autores) é por definição, a proposição que é verdadeira ou falsa, conforme p falsa ou verdadeira.
Os possíveis valores lógicos para a negação são dados pela tabela-verdade abaixo:
| p | ¬p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Regras para a Negação
Para x e y como números reais,
| Afirmação | Negação |
|---|---|
| x=y | x≠y |
| x<y | x≥y |
| x≤y | x>y |
| x>y | x≤y |
| x≥y | x<y |
Para p e q como proposições,
| Preposição | Negação |
|---|---|
| pvp | ¬(pvq) ≡ ¬p^¬q |
| p^q | ¬(p^q) ≡ ¬pv¬q |
| p→q | ¬(p→q) ≡ p^¬q |
| p↔q | ¬(p↔q) ≡ (p^¬q)v(q^¬p) |
Disjunção Exclusiva
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
“OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “V”. E a tabela-verdade será a seguinte:
| p | q | pVq |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
A disjunção exclusiva é estudada como um caso especial por causa da quantidade de problemas que podemos resolver com a sua utilização. Mas a disjunção exclusiva, nada mais é do que uma operação composta com outros operadores já estudados. Veja a tabela verdade abaixo:
| p | q | pVq | p ∨ q | p ∧ q | ¬ (p ∧ q) | (p ∨ q ) ∧¬ (p ∧ q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Repare que a terceira e a sétima colunas são equivalentes.
Exercícios Resolvidos
1.Nas sentenças abaixo, apenas a A e D são proposições.
A. 12 é menor que 6.
B. Para qual time você torce?
C. x+3>10.
D. Existe vida após a morte.
A. A sentença A é uma proposição, pois é possível fazer juízo (concluir se verdadeira ou falsa), que no caso é falsa.
B. A sentença B não é um proposição pois é interrogativa (sentenças interrogativas, exclamativas e imperativas não são proposições, pois não podemos fazer juízo delas).
C. A sentença C não é um preposição, e sim uma sentença aberta, pois existe uma variável livre (x), e dependendo dessa variável, o valor lógico da sentença fica indefinido.
D. A sentença D é afirmativa, não exclamativa, não interrogativa, não imperativa, não é uma sentença aberta (existe uma incógnita), então ela é uma proposição.
A questão 1 esta correta.
2. Considere que A e B sejam as seguintes proposições:
A: Júlia gosta de peixe.
B: Júlia não gosta de carne vermelha.
Nesse caso, a proposição “Júlia não gosta de peixe, mas gosta de carne vermelha” esta corretamente simbolizada por ¬(A^B).
A questão 2 esta incorreta, a resposta correta para a simbolização seria ¬A^¬B.
3. Considerando-se que as proposições A, B e C tenham valorações V, F e V, respectivamente e considere as proposições P e Q, representadas respectivamente por A^(BvC) e [¬(A^B)v(¬C)], é correto afirmar que P e Q tem a mesma valoração?
Armando o problema temos:
A≡V; B≡F; C≡V; P≡A^(BvC); Q≡[¬(A^B)v(¬C)]
Resolvendo P: V^(FvV) => V^V => V
Resolvendo Q: [¬(V^F)v(¬V)] => [¬FvF] => [VvF] => V
Conclusão: P=Q. Questão correta.
4. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-se as colunas da tabela a seguir, se necessário, é correto afirmar que a última coluna dessa tabela-verdade esta correta.
| A | B | ¬B | Av(¬B) | AvB | ¬(AvB) | [Av(¬B)]→[¬(AvB)] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | ||||
| V | F | F | ||||
| F | V | V | ||||
| F | F | V |
Preenchendo a tabela-verdade completamente para verificar a última coluna, temos:
| A | B | ¬B | Av(¬B) | AvB | ¬(AvB) | [Av(¬B)]→[¬(AvB)] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | V | V | F | F |
| V | F | V | V | V | F | F |
| F | V | F | F | V | F | V |
| F | F | V | V | F | V | V |
Comparando as duas últimas colunas das tabelas, conclui-se que a questão esta correta.
5. Dizer que “Antonio é são-paulino ou José não é cruzeirense” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
A. Se Antonio é são-paulino, então José não é cruzeirense.
B. Se Antonio não é são-paulino, então José é cruzeirense.
C. Se José não é cruzeirense, então Antonio é são-paulino.
D. Se José é cruzeirense, então Antonio é são-paulino.
E. Antonio é são-paulino e José não é cruzeirense.
Resolvendo:
p≡Antonio é são-paulino; q≡José não é cruzeirense.
| p | q | Enunciado pvq | A p→q | B ¬p→¬q | C q→p | D ¬q→p | E p^q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V | V | F |
| F | V | V | V | F | F | V | F |
| F | F | F | V | V | V | F | F |
Analisando a tabela-verdade acima, conclui-se que a resposta correta é a letra D.
6. Uma proposição da forma (¬A)v(Bv¬C) tem no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F.
Resolvendo:
Como são três proposições simples, teremos 23=8, logo teremos 8 valores lógicos V ou F possíveis, ou seja, 8 linhas na tabela-verdade.
7. A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasiliense”.
Resolvendo:
A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é “Alguém aqui é brasiliense”.
Questão: Incorreta.
8. A proposição ¬(P^Q) é equivalente à proposição (¬P) v (¬Q).
Resolvendo:
Isso é a aplicação direta da lei de Morgan onde (¬(P^Q)≡¬Pv¬Q)
9. Bebo ou brigo. Fumo ou não bebo. Danço ou não brigo. Ora, não danço. Assim,
A Brigo e fumo.
não fumo e bebo.
não danço e não fumo.
brigo e não fumo.
fumo e bebo.
Resolvendo:
| BEBO | OU | BRIGO |
| V | F | |
| FUMO | OU | NÃO BEBO |
| V | F | |
| DANÇO | OU | NÃO BRIGO |
| F | V | |
| NÃO DANÇO | ||
| V |
Resposta: Letra E