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Aula 06 de Lógica

Outras Formas do “Se… Então…”

Da tabela-verdade da Implicação – p→q, conclui-se que se p→q e p são verdadeiras, necessariamente, q é verdadeira; mas quando p→q e q são verdadeiras, p pode ser verdadeira ou falsa. É por isso que dizemos que, em um teorema da forma “Se p então q”, q é uma condição necessária para p, e p uma condição suficiente para q.

A

B

A→B

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Tabela Verdade Implicação

Esquematicamente:

p→q: p é suficiente para q e q é necessário para p.

Da mesma forma a negação, utilizando a contrarreciprocidade.

¬q→¬p: ¬q é suficiente para ¬p e ¬p é necessário para ¬q.

Vamos a um exemplo com a sentença do tipo: “Se estudou, aprendeu” que pode ser reescrita das seguintes formas, sem perder o sentido lógico:

Se estudou, aprendeup→q
Se não aprendeu, não estudou.¬q→¬p
Estudar é suficiente para aprender.p→q
Aprender é necessário para estudar.p→q
Não aprender é suficiente para não estudar.¬q→¬p
Não estudar é necessário para não aprender.¬q→¬p

Já a operação de bicondicional representado por p↔q e lido como “p se e somente se q” é fácil de compreender pois já sabemos que:

p↔q≡ (q→p)∧(p→q)

O lado direito do sinal ≡ (idêntico a) pode ser lido como “p é necessário e suficiente para q”.

Vamos para um exemplo de uma prova de concurso público (FGV):

Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser paranaense.

c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.

d) Ser baiano é condição suficiente, mas não é necessária para ser brasileiro.

e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser brasileiro.

Solução:

Transformar em proposições as afirmativas da questão e analisar com conhecimentos básicos de geografia.

Alternativa simbolizadaGeografia básica
a) é brasileiro ↔ é paulistaé paulista → é brasileiro
b) é brasileiro → é paranaenseé paranaense → é brasileiro
c) é carioca ↔ é brasileiroé carioca → é brasileiro
d) é baiano → é brasileiro é baiano → é brasileiro
é brasileiro → é maranhense.é maranhense → é brasileiro

Principais Equivalências

Para ser equivalente basta ter os mesmos resultados na tabela-verdade, inclusive, esta é uma das formas de provar equivalência. Mas podemos ganhar muito tempo se entendermos algumas equivalências básicas (procure não decorar, e sim entender fazendo as tabelas-verdade de cada equivalência e compreendendo.).

  1. p→q≡¬q→¬p
  2. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
  3. ¬(p∧q)≡¬p∨¬q
  4. ¬(p∨q)≡¬p∧¬q
  5. ¬(p→q)≡p∧¬q
  6. ¬(p↔q)≡(p∧¬q)∨(q∧¬p)≡pq
  7. p→q≡¬[¬(p→q)]≡¬p∨q
  8. p↔q≡¬[¬(p↔q)]≡(¬p∨q)∧(¬q∨p)

Cuidados com a condicional.

Na implicação p→q, p é o antecedente e q o consequente. É importante notar que p e q não tem necessariamente qualquer relação de causa e efeito, como acontece nas implicações da linguagem comum. Veja abaixo outras formas de ler a condicional p→q.

“q se p”

“q desde que p”

“p é uma condição suficiente para q”

“q é uma condição necessária para p”

Rigor Matemático

É importante notar que os símbolos → e ⇒ são distintos entre si, pois, o primeiro é para ser utilizado na operação lógica de implicação, por exemplo, p→q e o segundo é de relação para ser usado em implicações, por exemplo, x=2 ⇒ x2=4. Os mesmos raciocínios se aplicam a ↔ e a ⇔.

Seguindo a linha de raciocínio do rigor matemático, os parenteses mais externos podem ser omitidos. Por exemplo:

((p∧q)→r) é o mesmo que (p∧q)→r.

Quando houver vários símbolos sem parenteses, convenciona-se a seguinte ordem de execução dos operadores: ¬, ∧, ∨, → e ↔ da esquerda para a direita. Por exemplo:

¬p∨q→r é o mesmo que [(¬p)∨q]→r

Operações recorrentes e com nomes (Leis do cálculo proposicional)

Todas as operações listadas abaixo podem ser provadas através da tabela-verdade. Porém, o conhecimento destas relações pode poupar tempo precioso em algumas situações (provas por exemplo).

Lei da dupla negação.

  • ¬¬A≡A

Leis de idempotência.

  • A∧A≡A
  • A∨A≡A

 Lei de associatividade.

  • A∧(B∨C)≡(A∧B)∨C
  • A∨(B∧C)≡(A∨B)∧C

Leis de De Morgan

  • ¬(A∨B)≡¬A∧¬B
  • ¬(A∨B)≡¬A∧¬B

Leis distributivas

  • A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C)
  • A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C)

Lei de absorção.

  • A∨(A∧B)≡A
  • A∧(A∨B)≡A

Leis de redundância.

  • (A∧B)∨¬B≡A∨¬B
  • (A∨B)∧¬B≡A∧¬B

Leis contrarrecíprocas.

  • A→B≡¬B→¬A

Lei de eliminação da condicional.

  • A→B≡¬A∨B

Lei de eliminação de bicondicional.

  • A↔B≡(A∧B)∨(¬A∧¬B)

Princípio das gavetas de Dirichlet.

Conhecido, também como princípio da casa dos pombos, ou ainda, princípio da pior hipótese. O princípio afirma que se existem m objetos para n posições e se n>m, então, pelo menos uma posição ficará com mais de um objeto.

Exemplo:

Quantas pessoas são necessárias para que se tenha a certeza que haverá pelo menos duas pessoas aniversariando no mesmo mês?

Resposta: 13

Pois em um ano temos 12 meses e com treze indivíduos, tem-se a certeza de que haverá pelo menos duas pessoas com o mesmo mês de nascimento.

Exercícios resolvidos.

1.Se marcos não estuda, João não passeia. Logo,

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Resolução:

1.Se marcos não estuda, João não passeia. p→q.

a)Marcos estudar é condição necessária para João não passear. ¬p→q.
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. ¬p→¬q.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João passear. p→¬q.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. p→¬q.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. ¬q→¬p.

Resposta: e.

2. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
b) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
e) o duque saiu do castelo e o rei foi à caça.

Resposta:

Localiza-se no problema as expressões condição necessária e condição suficiente. Percebe-se que são “se…então…” camuflados. Logo, para resolver a questão, primeiro se tira o “disfarce” dos “se… então…” e depois monta-se o problema em forma de argumentação lógica para que com as premissas dadas no enunciado, se extraia as conclusões.

Considere as proposições:

p: O rei ir a caça.
q: Duque sair do castelo.
r: A duquesa ir ao jardim.
s: O conde encontrar a princesa.
t: O barão sorrir.

Montando o problema em forma de argumentação lógica (tirando o disfarce dos “se… então…”)

A1)O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo (V).
A1)q→p
A2) O rei ir a caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim (V).
A2)p→r
A3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir (V).
A3) s↔t
A4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim (V).
A4)r→s
A5) O barão não sorriu (V).
A5) ¬t

A

B

A→B

A

B

A↔B

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V

Tabelas auxiliares

Começando por analisar A5 conclui-se que t é falsa. Sabendo disso observa-se A3 onde s↔t então s é falsa. Sabendo disso temos A4 onde r→s chega-se a conclusão que r é falsa. Depois desse resultado pode-se abordar A2 p→r e p é falso. Finalmente chega-se a A1 onde q→p e q é falso. Então

t é falso: O barão não sorriu;
s é falso: O conde não encontrou a princesa;
r é falso: A duquesa não foi ao jardim;
p é falsa: O rei não foi a caça;
q é falsa: O duque não saiu do castelo.

Resposta: c.

2. Em uma urna há 7 bolas: 3 brancas, 2 pretas, 1 verde e  1 azul. É correto afirmar que, se dessa urna forem retiradas:

a) 5 bolas, necessariamente haverá bolas de três cores diferentes.
b) 4 bolas, necessariamente todas terão cores diferentes.
c) 3 bolas, necessariamente todas serão brancas.
d) 2 bolas, necessariamente ambas terão cores iguais.
e) 6 bolas, necessariamente haverá uma bola branca.

Resolução:

Pelo princípio das gavetas de Dirichlet, faz-se a análise pelo pior caso.

a) 5 bolas, necessariamente tem-se bolas de três cores diferentes. Basta que a retirada seja composta pelas 3 bolas brancas e 2 bolas pretas para termos apenas duas cores.
b) 4 bolas, necessariamente todas terão cores diferentes. Na retirada onde três bolas são brancas e seja qual for a cor da próxima, teremos apenas duas cores.
c) 3 bolas, necessariamente todas serão brancas. Basta que apenas uma das bolas retiradas, no total de três, não seja branca para se ter uma cor diferente de branco.
d) 2 bolas, necessariamente ambas terão cores iguais. Na retirada de uma bola branca e uma preta, tem-se cores diferentes.
e) 6 bolas, necessariamente haverá uma bola branca. Como temos 7 bolas e deste total 3 são brancas, em uma retirada de 6 bolas, sempre teremos pelo menos uma bola branca.

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