Lógica Proposicional – Prática
Para dominar a lógica proposicional, precisamos praticar e resolver questões. Vamos, nesta aula, resolver questões que servirão de guia para que vocês possam praticar e em caso de dúvidas, recorram aos exercícios resolvidos aqui.
1.Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens A, B e C seguintes, acerca da lógica sentencial.
A) A negação da proposição P pode ser expressa por “Se nesse jogo há juiz, então há jogada fora da lei”.
B) A proposição P é equivalente a “Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz”.
C) A proposição P é equivalente a “Nesse jogo há juiz ou não há jogada fora da lei”.
Resolução:
Consideraremos que:
P = ~Q → ~R
onde,
Q: Nesse jogo há juiz
R: Há jogada fora da lei
A) A negação da proposição P pode ser expressa por “Se nesse jogo há juiz, então há jogada fora da lei”.
Resolução:
Para resolvermos a questão, basta sabermos que a negação de (A → B) é (~B → ~A)
Temos que ~(~Q → ~R) é equivalente a R → Q (Há jogada fora da lei então há juiz)
ERRADO
B) A proposição P é equivalente a “Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz”.
Pela questão anterior, A → B e ~B → ~A são equivalentes.
CORRETO
C) A proposição P é equivalente a “Nesse jogo há juiz ou não há jogada fora da lei”.
Veja em nosso conteúdo que A → B e ~A V B são equivalentes
CORRETO
2.Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:
Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;
Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.
Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.
A) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.
Resolução:
Considerando:
A = Eu sou traficante
B = Levo grande quantidade de drogas
C = Escondi a droga
Temos pela premissa 2:
A ⇒ B ∧C
Como:
~(P⇒Q) = ~Q⇒~P (negação de uma implicação)
~(P∧Q) = ~P V ~Q
Temos:
~(A ⇒ B ∧C) = ~B V ~C ⇒ ~A
Ou seja, “Como não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi, não sou traficante”
Resposta: ERRADO
B) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.
Resolução:
A premissa 2 tem a estrutura condicional (p⇒q).
Conforme a tabela verdade de p⇒q temos que: Se p é falsa, a proposição condicional será verdadeira, sendo q falsa ou verdadeira.
Resposta: CERTO
C) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida. Observe que é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Por exemplo:
“Levo uma quantidade grande de droga” é verdadeira.
“Sou usuário” é verdadeira.
“Não sou traficante” é verdadeira.
O argumento seria:
Premissa 1: (V ˄ V) é verdadeira.
Premissa 2: [F –> (V ˄ ?)] é verdadeira.
Premissa 3: (F ˄ F) –>?) é verdadeira.
Conclusão: (V –> F) é falsa.
Portanto é um argumento não-válido.
Resposta: ERRADO
D) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P∧Q.
Resolução:
Premissa 1: (Eu não sou traficante ˄ Eu sou usuário) é equivalente a (p ˄ q).
Resposta: CERTO
3. Um jornal publicou a seguinte manchete:
“Toda Agência do Banco do Brasil tem deficit de funcionários.”
Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:
(A) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm deficit de funcionários.
(B) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem deficit de funcionários.
(C) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem deficit de funcionários.
(D) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil.
(E) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.
Resolução:
Para negar a manchete, basta encontrarmos uma agência que não tem déficit de funcionários.
Letra C.
4. Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”?
(A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos.
(B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos.
(C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos.
(D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos.
(E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos.
Resolução:
Quando falamos que algum funcionário tem menos de 20 anos, estamos querendo dizer que com certeza tem funcionário nesses condições.
A negação só pode ser que não tem, ou seja, “nenhum funcionário da agência P do BB tem pelo menos 20 anos”.
Letra D.
5. A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se 6n < n² + 8 ” será verdadeira, se n for um número real
(A) menor que 8.
(B) menor que 4.
(C) menor que 2.
(D) maior que 2.
(E) maior que 3.
Resolução:
Vamos resolver a inequação: n² – 6n + 8 > 0, para isto, devemos achar as raízes da equação n² – 6n + 8 = 0:
Pelo método de soma e produto:
Soma = -b/a = 6/1 = 6
Produto = c/a = 8/1 = 8
Os dois números cuja soma é 6 e o produto é 8 só podem ser 2 e 4.
O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola, e que quando a > 0 a parábola tem a concavidade para cima. Logo, a proposição é verdadeira para n<2 ou n>4.
Letra C
Texto auxiliar
Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc. Uma proposição composta da forma A V B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor lógico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição composta da forma A ∧ B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos. Além disso, ¬A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V.
6. Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições simples A e B e cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.
Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A ∧ (¬B)] V [(¬A) ∧ (¬B)].
Vamos testar para as quatro opções que temos:
A = V e B = V
[A ∧ (¬B)] V [(¬A) ∧ (¬B)] = [V ∧ (¬V)] V [(¬V) ∧ (¬V)] = [V ∧ F] V [F ∧ F] = F v F = F
A = V e B = F
[A ∧ (¬B)] V [(¬A) ∧ (¬B)] = [V ∧ (¬F)] V [(¬V) ∧ (¬F)] = [V ∧ V] V [F ∧ V] = V v F = V
A = F e B = V
[A ∧ (¬B)] V [(¬A) ∧ (¬B)] = [F ∧ (¬V)] V [(¬F) ∧ (¬V)] = [F ∧ F] V [V ∧ F] = F v F = F
A = F e B = F
[A ∧ (¬B)] V [(¬A) ∧ (¬B)] = [F ∧ (¬F)] V [(¬F) ∧ (¬F)] = [F ∧ V] V [V ∧ V] = F v V = V
CERTO
7. A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
< A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.
< Por que existem juízes substitutos?
< Ele é um advogado talentoso.
Resolução:
Lembrando que para ser uma proposição, deve ser possível atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso.
– A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.
É uma proposição pois é possível atribuir verdadeiro ou falso.
– Por que existem juízes substitutos?
Claramente pergunta não é proposição.
– Ele é um advogado talentoso.
Não é proposição. É a chamada sentença aberta, onde para ser verdadeiro ou falso depende de quem é “ele”.
ERRADO
8. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”.
Considerando:
p: Carlos é juiz
q: Carlos é muito competente
Dessa forma, a proposição pode ser escrita como p ∧q. Assim, temos:
~(p ∧ q) = ~p v ~q
Assim, a negação de “Carlos é juiz e é muito competente” é “Carlos não é juiz ou não é muito competente”.
ERRADO
9. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.
Resolução:
Sejam:
P: A Constituição brasileira é moderna
Q: A Constituição brasileira precisa ser refeita
Assim:
“A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” pode ser escrita assim: p v q . Negando temos:
~(p v q) = ~p ∧ ~q
Que pode ser escrita “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita”
CERTO
10. Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a proposição composta [A ∧ (¬B)] V B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F.
Resolução:
Vamos testar para as quatro opções que temos:
A = V e B = V
[A ∧ (¬B)] V B = [V ∧ (¬V)] v V = [V ∧ F] v V = F v V = V
A = V e B = F
[A ∧ (¬B)] V B = [V ∧ (¬F)] v F = [V ∧ V] v F = V v F = V
A = F e B = V
[A ∧ (¬B)] V B = [F ∧ (¬V)] v V = [F ∧ F] v V = F v V = V
A = F e B = F
[A ∧ (¬B)] V B = [F ∧ (¬F)] v F = [F ∧ V] v F = F v F = F
CERTO
11. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.
I Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade.
II Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio.
III Jorge não foi ao centro da cidade.
A) A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição:
T: Tânia estava no escritório
J: Jorge foi ao centro da cidade
M: Manuel declarou o imposto na data correta
C: Carla pagou condomínio
Resolução:
Podemos reescrever as proposições:
I) T V J = V
Como a proposição é verdadeira, o único caso que não pode ocorrer é T e J Falsas ao mesmo tempo.
II) M ∧ ~C = V
Como a proposição é verdadeira, obrigatoriamente M é Verdadeira e C é Falsa.
III) ~ J = V
Como a proposição é verdadeira, J é Falsa.
B) “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.
Resolução
Para que M ∧ J = V devemos ter M = V e J = V
ERRADO
C) “Tânia não estava no escritório” tem, obrigatoriamente, valor lógico V.
Resolução
Como J = F e T V J = V, a proposição T deve ser verdadeira, ou seja, Tania estava no escritório.
ERRADO
D) “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.
Resolução
Como M ∧ ~C = V, ~C deve ser Verdadeiro, ou seja, C é Falso.
CERTO
12. Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Resolução:
Temos 3 proposições:
P = Chove
Q = Neva
R = Chão molhado
Podemos escrever a proposição “Se chove ou neva, então o chão fica molhado” da seguinte forma:
P ou Q => R, que é equivalente a ~R => ~P e ~Q, ou seja, “Se o chão está seco, então não choveu e não nevou”
Resposta: D
13. Construa a tabela da verdade para a seguinte proposição: E = (p ∨ (¬p ∨ q)) ∧ ¬(q ∧ ¬r)
Resolução:
14. Faça a simplificação lógica da seguinte expressão usando apenas as leis da lógica: (p ∧ (¬(¬p ∨ q))) ∨ (p ∧ q)
(p ∧ (¬(¬p ∨ q))) ∨ (p ∧ q) De Morgan sobre ¬(¬p ∨ q).
(p ∧ (p ∧ ¬q)) ∨ (p ∧ q) Associatividade sobre p ∧ (p ∧ ¬q).
((p ∧ p) ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) Idempotência sobre p ∧ p.
(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) Distributividade sobre a expressão.
p ∧ (¬q ∨ q) Negação sobre ¬q ∨ q.
p ∧ t Identidade com a tautologia t.
p
15. ALMIR, BETO, CÉLIO E DANILO TRABALHAM EM UMA REPARTIÇÃO PÚBLICA E SUAS IDADES SÃO: 30, 31, 32 E 33 ANOS, NÃO NECESSARIAMENTE NESSA ORDEM. SUAS OCUPAÇÕES SÃO: AUXILIAR DE ESCRITÓRIO, CONTADOR, OUVIDOR E ESCRITURÁRIO, AINDA QUE NÃO NECESSARIAMENTE NESSA ORDEM. SABE-SE QUE:
− o auxiliar de escritório, que é o mais jovem dos quatro, é primo de Almir e sempre toma café com Beto;
− Célio, que é o mais velho dos quatro, mora no mesmo prédio do contador;
− Almir é dois anos mais novo que o escriturário.
Nas condições descritas acima, é correto afirmar que, necessariamente,
(A) Beto é o escriturário.
(B) Danilo é o contador.
(C) Célio é o escriturário.
(D) Almir é o ouvidor.
(E) Célio é o ouvidor.
Resolução:
− o auxiliar de escritório, que é o mais jovem dos quatro, é primo de Almir e sempre toma café com Beto;
Conclusão parcial: Auxiliar – 30 anos- opções: Célio ou Danilo
− Célio, que é o mais velho dos quatro, mora no mesmo prédio do contador;
Conclusão parcial:
Danilo – auxiliar- 30 anos ( Célio não pode ser auxiliar)
Célio – 33 anos – opções: Ouvidor ou Escriturário
− Almir é dois anos mais novo que o escriturário.
Conclusão: Almir só pode ter 31 anos( idade que permite uma diferença de 2 anos), logo Célio é o escriturário ( a diferença entre eles é de 2 anos)
Resposta letra C
16. CONSIDERE A SENTENÇA SOBRE OS NÚMEROS RACIONAIS X E Y: “ X ≥3 E X + Y ≤7 ”. UM CENÁRIO NO QUAL A SENTENÇA DADA É VERDADEIRA É:
(A) x =3 e y =2
(B) x =3 e y =7
(C) x =2 e y = 5
(D) x = 4 e y = 4;
(E) x = 5 e y =3.
Resolução:
É necessário encontrar números para x e y que satisfaçam as duas proposições.
1ª proposição: x ≥3; 2ª proposição: x + y ≤7
Vamos testar!
(A) x =3 e y =2
1ª proposição: x ≥3 ( x= 3, torna a sentença Verdadeira, ok!)
2ª proposição: x + y ≤7 ( 3 + 2 = 5, valor menor que 7. Sentença verdadeira, ok!)
Resposta alternativa A
17. HÁ 10 ANOS, A SOMA DAS IDADES DE FERNANDA E DE SUA FILHA ISADORA ERA 40 ANOS. DAQUI A 10 ANOS, A SOMA DAS IDADES DELAS SERÁ:
(A) 50 anos;
(B) 60 anos;
(C) 70 anos;
(D) 80 anos;
(E) 90 anos.
Resolução:
Há 10 anos, a soma das idades de Fernanda e de sua filha Isadora era 40 anos.
Logo, hoje a soma é 40 + 20 = 60 ( são duas pessoas, por isso a soma é igual a 20, sendo 10 anos para cada pessoa).
Daqui a 10 anos, a soma das idades delas será:
60 ( hoje) + 20 ( 2 pessoas daqui a 10 anos) = 80
Resposta letra D