INTRODUÇÃO

O que é Lógica?
Talvez seja esta a primeira curiosidade que advém à mente do leitor. Preliminarmente, observemos que o público não especialista costuma empregar o termo “lógica” em várias acepções: por exemplo, costumamos ouvir expressões como “a lógica do amor”, “a lógica do técnico de futebol”, “a lógica do presidente”, e assim por diante. Convém ressaltarmos que, apesar do uso do termo “lógica” nesses exemplos não ser destituído totalmente de sentido, tais contextos são inadequados quando tratamos do termo “lógica” que adquire hodiernamente. Uma definição popular de lógica é: Lógica é o estudo das inferências (raciocínios) válidos. Tal definição não está incorreta, porém, ela não é adequada se observarmos o que a Lógica é modernamente. Por exemplo, a Teoria dos Modelos, um ramo importante da Lógica atualmente, dificilmente se enquadraria nessa definição. Outra definição que encontramos em algumas obras de Lógica é a seguinte: Lógica é o estudo do raciocínio feito pelos matemáticos… Comentamos uma definição que nos parece mais adequada: Lógica é o que os lógicos cultivam ou o que está nos tratados de Lógica. Ou seja, para bem compreendermos o que é lógica, é necessário seu cultivo sistemático. O leitor deve ter percebido que não existe uma definição satisfatória de Lógica. Tal questão pertence à Filosofia que trata, entre outras coisas, de temas que não possuem resposta cabal. Esta situação se afigura constrangedora, pois vamos estudar Lógica sem poder saber exatamente o que ela é…

Ciência e Lógica

Entre as várias indagações que o homem se faz, uma das mais significativas e recorrentes diz respeito ao conhecimento. E é justamente no campo da ciência que se dá a investigação e a busca desse conhecimento. Seríamos parciais se disséssemos que isto ocorre apenas no campo científico ou acadêmico. Essa busca, na verdade, acontece na maioria das atividades que envolvem o ser humano. Existem métodos de apreensão da realidade nos campos religioso, político, social, entre outros. Mesmo assim, a ciência (e o método científico) ocupa um papel cada vez mais importante em todos esses campos. Mas, nos perguntamos, o que é ciência? Ou, em outros termos, com o que se preocupa o cientista em sua investigação? Por exemplo, um biólogo está buscando o que?
Uma resposta adequada e definitiva é difícil, mas, em princípio, diríamos que todo cientista está buscando compreender algum fenômeno, entender e explicar uma parte da nossa realidade.
O biólogo que, por exemplo, esteja buscando conhecimento sobre moscas. Neste caso, a porção da realidade que ele pretende captar, compreender (e depois transmitir a outras pessoas, à comunidade) seria algum aspecto relativo à vida da mosca, ou algo assim. O médico pesquisador, por exemplo, que busca investigar o mecanismo interno de certas doenças, a tuberculose, o câncer, etc. Já o psicanalista, que se preocupa em compreender o psiquismo das pessoas. Enfim, cada cientista está, então, tentando entender e explicar certas porções de nossa realidade.

Passaríamos, então, para um segundo ponto, que seria o caminho percorrido na busca dessa compreensão da realidade. É sabido que, em tempos mais remotos, alguns cientistas usaram uma boa dose de misticismo nas suas ponderações, porém, hoje dificilmente uma tal atitude seria aceita ou encorajada no campo científico. Diríamos que o cientista utiliza aquele que é um dos atributos mais importantes do ser humano para empreender sua investigação, a razão. A ciência só se concretiza em virtude e através da razão humana, sendo definida, justamente, como uma atividade racional.

Teríamos assim uma primeira relação importante: ciência e razão.

Mas afinal, perguntaríamos novamente, o que é razão? Não pretendemos abusar da paciência do leitor, mas responder tal questão não é simples, sendo porém necessário que consideremos um importante aspecto da questão. A questão fundamental a ser percebida, para a nossa discussão, é que a razão humana se materializa, se corporifica sempre em algum contexto linguístico. Poderíamos praticamente dizer que não há razão sem linguagem, o que ilustra a importância da Teoria da Linguagem para a ciência. Pois bem, perguntemos neste ponto, ao biólogo, que linguagem estará ele utilizando para investigar seu objeto de estudo, as mosquinhas? Talvez ele se surpreenda com a pergunta, mas provavelmente dirá, a língua portuguesa, ou seja, a linguagem natural que aprendemos desde tenra idade. Talvez muitos dos cientistas diriam o mesmo: a linguagem natural!

Voltemos aos lógicos e perguntemos a eles: qual é a porção da realidade que o lógico busca compreender? Que linguagem estará ele empregando para isso? Vejamos um objeto lógico que a maioria das pessoas certamente conhece muito bem, os números naturais: 0, 1, 2, 3, …, n, … (sim! números são entidades lógicas). Além dos números, a maioria das pessoas sabe somar e multiplicar números, sabe também, comparar números, e assim por diante.

Uma peculiaridade interessante numa investigação em Lógica. Um biólogo que quer estudar as moscas, sabe onde ir buscá-las. Um médico também sabe em que espaço se encontram as doenças que quer investigar, em seres vivos. Mas, e quanto ao número 2, onde será que ele se encontra? Uma questão como essa, que pode parecer irrelevante à primeira vista, tem desdobramentos interessantes. Indague o leitor a si mesmo se o número 2 existe de fato ou não. Acreditamos que um matemático convencional não poria dúvidas quanto à existência do número 2, mas certamente teria dificuldades em justificá-la. Para aguçarmos um pouco mais essa questão, o leitor está certo de que este livro, que está diante dele, existe mesmo? É claro que sim! diria. Se pedíssemos uma argumentação que justificasse essa certeza, talvez uma resposta suficiente aos olhos do senso comum seria: Eu estou vendo, tocando! Ou seja, justificaria a existência do livro pelos sentidos usuais que os seres humanos são dotados. Infelizmente, não estaríamos satisfeitos com essa argumentação. O tato pode falhar, a visão nos engana freqüentemente. Logo, em termos racionais, os sentidos não são capazes de nos fornecer fundamentos para a certeza absoluta da existência do livro. Se o leitor aplicasse essa argumentação a ele próprio, as coisas ficariam ainda piores. O leitor tem certeza absoluta que existe? O que pode parecer estranho, mas inatacável, nessa linha de argumentação, é que não conseguimos legitimar a existência das coisas somente por argumentos lógicos. Um dos mais belos desenvolvimentos em cima desse argumento é devido ao matemático e filósofo francês René Descartes, resumido na frase “penso, logo existo”. Porém, o que podemos concluir daí é que existe pensamento, não o ser.

Assim, necessitamos de uma postura para vermos as coisas. A maioria absoluta dos lógicos e cientistas em geral adota a postura platônica (muitas vezes inconscientemente). Grosso modo, Platão acredita na existência de dois mundos:

1. O mundo físico (em que vivemos) e
2. O mundo das entidades ideais.

Para nos familiarizarmos com o segundo mundo tomemos o exemplo clássico da circunferência. Alguém consegue desenhar uma circunferência perfeita? Acreditamos que o leitor tenha respondido não. Porém, para Platão a circunferência perfeita existe, porém não no nosso mundo físico e sim no mundo das entidades ideais. Além disso, Platão diz que as circunferências do mundo físico são cópias imperfeitas da circunferência perfeita, do mundo ideal. Todas as entidades lógicas estão no mundo das entidades ideais. Os objetos são atemporais e não temos o conceito de espaço em tal mundo. Nesse sentido, podemos dizer que o número 2 sempre existiu e sempre vai existir independentemente da existência do homem e, além disso, não se encontra em lugar algum.

Decorre daí, em particular, que a Lógica (ou Matemática) é a mesma para todos. Platão nos diz também que o único acesso ao mundo das entidades ideais é feita através de nosso intelecto, e segundo ele, esta é a razão pela qual poucos o conhecem, e que a nossa relação com tais entidades é de descoberta (e não de criação, por exemplo). Os poucos que não seguem a postura platônica são vistos como excêntricos, porém existem adeptos de outras correntes, em número menor.

Aspectos da Lógica Atual
As principais áreas de pesquisa em lógica clássica na atualidade podem ser classificadas nas seguintes:

1. Sintaxe lógica: nesta área estudam-se certos constructos linguísticos formalizados, as linguagens artificiais. Estas servem para traduzir problemas lógicos referentes ás linguagens da matemática e das ciências empíricas. Também pode-se estudar questões ligadas ás linguagens naturais. Por meio desta ferramenta, pode-se axiomatizar teorias, etc. e, como observamos anteriormente, obteve-se resultados extremamente fecundos como os teoremas de incompleteza de Gödel.
2. Teoria de modelos: aqui se estudam as inter-relações existentes entre as linguagens artificiais e certas estruturas conjuntistas às quais elas se referem. Os contornos atuais deste ramo se devem a A. Tarski e A. Robinson. Um dos resultados mais importantes da teoria de modelos foi a matematização do conceito de verdade feita por Tarski, dando-se assim, uma contribuição de profundo significado filosófico. Um dos resultados surpreendentes que o próprio Tarski observou foi de que a classe das proposições verdadeiras é mais abrangente que a classe das proposições demonstráveis em teorias matemáticas fortes e consistentes. A teoria de modelos possui atualmente as mais variadas aplicações, por exemplo, em ciências empíricas e na metodologia da ciência.
3. Teoria da recursão: grosso modo, a teoria da recursão trata do que éexeqüível mecanicamente, computacionalmente, sem recurso á “inteligência”. Foram introduzidas certas máquinas ideais atualmente conhecidas como máquinas de Turing (outros contemporâneos foram A. Church e E. Post).
   Todos os grandes computadores da atualidade (inicialmente projetados e construídos por J. von Neumann por volta de 1950) são realizações físicas da máquina de Turing. São conhecidos resultados deveras interessantes na teoria da recursão; atualmente uma das questões mais atraentes é a investigação do que é computável, em particular, o problema conhecido como P = NP. Não convém falar dele aqui por ser demasiado técnico.
4. Fundamentos da matemática: aqui um dos tópicos de pesquisa é aobtenção de sistemas lógicos potentes capazes de fundamentar a matemática clássica, investigar alguns de seus axiomas, analisando suas conseqüências tanto matemáticas quanto seu significado do ponto de vista das aplicações. Alguns desses sistemas investigados são a teoria das categorias, teoria dos topos, teoria dos tipos e outros sistemas. O interessante é que tais sistemas extremamente fortes servindo de análise a própria matemática, encontraram aplicações em ciência da computação e Inteligência Artificial.
5. Lógica algébrica: a lógica serviu de catalisador deste ramo da matemática pura. Todo sistema lógico é no fundo uma certa estrutura algébrica; por exemplo, o cálculo proposicional clássico constitui numa álgebra de Boole, que por sua vez é uma estrutura mais básica: ela constitui num anel de Boole. Muitos problemas em lógica ou matemática, ou mesmo em ciência da computação, podem ser melhor tratados como certas estruturas algébricas.
6. Aplicações da lógica em matemática: este tópico estuda-se aplicações de técnicas da lógica para a solução de problemas em matemática. Por meio deste expediente foram resolvidas algumas questões relevantes em álgebra e topologia Também não teceremos mais comentários por ser uma tema demasiado técnico.

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO PROPOSICIONAL

Introdução

Neste capítulo trataremos alguns conceitos elementares da lógica proposicional, de uma maneira intuitiva. Isto não nos impede, entretanto, de sermos rigorosos em nosso tratamento. O cálculo proposicional é o estudo da linguagem proposicional. Ela estuda basicamente cinco símbolos:

1. Negação: ¬

2. Conjunção: ^

3. Disjunção: ∨

4. Implicação: →

5. Bi-implicação: ↔

A linguagem universal da lógica

A linguagem da teoria dos conjuntos constitui na linguagem universal da lógica.

Para os que acham que precisam revisar teoria dos conjuntos, Segue abaixo um vídeo de uma revisão boa sobre o assunto:

 

Conectivos lógicos e tabelas-verdade

No estudo da linguagem proposicional, apesar de ser formal, invocaremos muitas vezes proposições da língua portuguesa, com o fito de amenizar a exposição. Esperamos que o leitor se aperceba de um rigor saudável que estará subjacente às discussões que se seguem, apesar de conscientemente cometer tal heresia.

As sentenças que estão em tela são as ditas sentenças declarativas. Tais sentenças são sentenças, como o próprio nome diz, que declaram (afirmam) algo. Portanto, o que afirmam é passível de ser considerada ou como verdadeira, ou como falsa. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1. Exemplos de sentenças declarativas.

1. A neve é branca. (verdadeira)

2. 2 + 2 = 5 (falsa)

3. Há cinco milhões de grãos de areia na lua. (ninguém contou os grãos; mas sabemos ou que é verdade, ou que é falsa (provavelmente falsa)).

Daqui em diante, toda sentença (declarativa) que trabalharmos é ou verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Daí a lógica clássica ser chamada de lógica bivalente. Existem várias notações para designarmos os valores-verdade ou valores-lógicos das sentenças.

Adotaremos neste texto a notação booleana:

“1” designa o valor-verdade “verdadeiro”

“0” designa o valor-verdade “falso”

1) Negação

Dada a proposição A podemos considerar a proposição ( ¬A) denominada a negação de A. Como a proposição A ou é verdadeira ou falsa, a tabela-verdade da negação toma então a seguinte forma:

Tabela-verdade da negação.

A	(¬A)(a negação de A)
1	0
0	1

A proposição A é verdadeira se e somente se sua negação (¬A) é falsa.

1. Seja A ≡ (2 + 2 = 4) (lê-se A identico a dois mais dois igual a quatro) (no caso, verdadeira). Então ( ¬A) ≡ ¬(2 + 2 = 4) (lê-se não a identico a não dois mais dois igual a quatro)  constitui uma sentença falsa. Na aritmética comum, costuma-se escrever a última expressão como 2 + 2 ≠ 4 (lê-se dois mais dois diferente de quatro).

2.Seja B ≡ (2 ∈ {1, 3, 5}) (lê-se B idêntico a dois pertence ao conjunto formado por um, três e cinco) (no caso, falsa). Logo, (¬B) ≡ ( ¬(2 ∈ {1, 3, 5}) (lê-se não B idêntico a  negação de dois pertence ao conjunto formado por um, três e cinco) constitui uma sentença verdadeira. Na linguagem da Teoria dos Conjuntos, a última expressão é usualmente escrita como 2 ∉ {1, 3, 5} (dois não pertence ao conjunto formado por um, três e cinco).

Mesmo na linguagem comum, a tabela-verdade se aplica:

3. Seja A ≡ “A neve é branca” (verdadeira). Sua negação é (¬A) ≡ “A neve não é branca” (falsa).

Também, A ≡ “A cidade de São Paulo é pequena” (falsa). Sua negação é (¬A) ≡ “A cidade de São Paulo não é pequena” (verdadeira).

Algumas negações delicadas.

4. Vejamos algumas negações de sentenças:

1. A ≡ “Todo homem é mortal”

Qual é a negação de A ? O mais simples é escrever

(¬A) ≡ “Nem todo homem é mortal” ou “ Não é que todo homem é mortal”. Porém, há outras sentenças equivalentes que queremos chamar a atenção: dizer “Nem todo homem é mortal” é o mesmo que dizer “Existem homens que não são mortais” ou “Há homens imortais”.

1. A ≡ “Existem pessoas inseguras”

Qual é a negação de A ? O mais simples é escrever (¬A) ≡ “Não existem pessoas inseguras”. Porém, esta é equivalente a escrever “Todas as pessoas não são inseguras” (pense bem !) ou “Todas as pessoas são seguras”.

2. A ≡ “Todos os animais mamíferos são animais vertebrados”.

(¬A) ≡ “Nem todos os animais mamíferos são animais vertebrados” ou “Não é que todos os animais mamíferos são animais vertebrados”. Ou ainda, “Existem animais mamíferos que não são animais vertebrados” ou “Há animais mamíferos que são animais invertebrados”.

3. A ≡ “Existem pessoas que se preocupam em ética”.

(¬A) ≡ “Não existem pessoas que se preocupam em ética” ou “Não existem pessoas que se preocupam em ética”. Ou ainda, “Todas as pessoas não se preocupam com a ética”

4. A ≡ “Todo número par é divisível por dois”

(¬A) ≡ “Nem todo número par é divisível por dois” ou “Não é que todo número par é divisível por dois”. Ou ainda, “Existem números pares que não são divisíveis por dois” ou “Há números pares que indivisíveis por dois”.

Conjunção

Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A ∧ B), a conjunção de A e B.

A veracidade ou falsidade da proposição (A ∧ B) depende da veracidade ou falsidade da proposição A e da proposição B. Logo, a tabela-verdade de (A ∧ B) possui quatro possibilidades de valores-verdade para A e B.

1. A é verdadeira e B também é verdadeira.

2. A é verdadeira e B é falsa.

3. A é falsa e B é verdadeira.

4. A é falsa e B também é falsa.

Postulamos que a proposição (A ∧ B) é verdadeira se e somente se ambas as proposições A e B são verdadeiras. A proposição (A ∧ B) é falsa se e somente se uma das proposições A ou B for falsa.

As considerações acima podem ser esquematizadas como se segue:

Tabela verdade da conjunção:

A	B	(A ∧ B) (a conjunção de A e B)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Exemplo 5. Consideremos as seguintes proposições:

[(2 + 4 = 4) ∧ (1 ≤ 2)] Esta proposição é verdadeira

[(2 + 4 = 4) ∧ (1 ≥ 2)] Esta proposição é falsa

[(2 + 4 ≠ 4) ∧ (1 ≤ 2)] Esta proposição é falsa

[(2 + 4 ≠ 4) ∧ (1 ≥ 2)] Esta proposição é falsa

A operação de conjunção lógica está ainda relacionada com a interseção de conjuntos.
Um elemento está na intersecção dos conjuntos apenas se for verdade que está em ambos.

^*ou  

* X pertence a A interseção B se e somente se X pertence a A e X pertence a B.

Observação. Convém frisar algumas diferenças entre os conectivos ∧ (lógico) e “e” (da língua portuguesa). Na linguagem proposicional, se A e B são fórmulas, então (A ∧ B) e (B ∧ A) são logicamente equivalentes. Com efeito, vejamos os exemplos seguintes:
a) (2 + 2 = 4 ∧ 1 ≤ 2) e
b) (1 ≤ 2 ∧ 2 + 2 = 4)
possuem o mesmo significado.

Na linguagem natural, porém, nem sempre isto ocorre. Vejamos os seguintes exemplos:
a) Sejam A ≡ ‘João é inteligente’ e B ≡ ‘João lê as obras de Platão’. (A ∧ B) representa a sentença ‘João é inteligente e João lê as obras de Platão’. (B ∧A) a sentença ‘João lê as obras de Platão e João é inteligente’. O senso comum nos indica que (A ∧ B) e (B ∧ A) se equivalem.
b) Sejam agora A ≡ ‘Maria casou’ e B ≡ ‘Maria teve um filho’. (A ∧ B) representaria a sentença ‘Maria casou e Maria teve um filho’. (B ∧ A) a sentença ‘Maria teve um filho e Maria casou’. Neste caso, note-se, não há uma equivalência entre as sentenças (A ∧ B) e (B ∧ A). Na linguagem natural insinua-se quase sempre uma certa seqüência temporal (e às vezes uma implicação de causalidade).
A observação se aplica também aos demais conectivos.

Disjunção
Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A ∨ B), a conjunção de A ou B.
Postulamos que a proposição (A ∨ B) é verdadeira se e somente se uma das proposições (ou ambas) A ou B são verdadeiras. A proposição (A ∨B) é falsa se e somente se quando ambas proposições A e B for falsa.
As considerações acima podem ser esquematizadas como se segue:
Tabela-verdade da disjunção:

A	B	(A ∨ B) (lê-se conjunção de A ou B)
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Consideremos as seguintes proposições:
1) [(2 + 4 = 4) ∨ (1 ≤ 2)] Esta proposição é verdadeira
2) [(2 + 4 = 4) ∨ (1 ≥ 2)] Esta proposição é verdadeira
3) [(2 + 4 ≠ 4) ∨ (1 ≤ 2)] Esta proposição é verdadeira
4) [(2 + 4 ≠ 4) ∨ (1 ≥ 2)]  Esta proposição é falsa

Na linguagem natural, muitas vezes o conectivo “ou” possui ideia de exclusão:
“Bianca vai ao supermercado ou vai á escola”. Neste caso, é claro que Bianca vai fazer uma coisa ou outra, mas não ambas simultaneamente.
O conectivo que leva em conta a observação anterior chama-se disjunção exclusiva.

A operação de disjunção lógica está ainda relacionada com a união de conjuntos. Um elemento está na união dos conjuntos quando for verdade que está nalgum deles.

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.

Implicação
Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A → B) (lê-se A implica B), a implicação de B por A.
A proposição A chama-se antecedente da implicação (A → B) (lê-se A implica B) e B chama-se o conseqüente da implicação (A → B) (lê-se A implica B).
Postulamos que a proposição (A → B) é falsa se e somente se o antecedente A é verdadeiro e o conseqüente B é falso. Nos demais casos, a proposição (A → B) é verdadeira.
As considerações acima podem ser esquematizadas como se segue:
Tabela-verdade da implicação:

A	B	(A →B) ( A implica B)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Observação. Teçamos algumas considerações sobre a tabela-verdade referente à implicação.
1) A tabela é positivamente obscura no uso ordinário. Vejamos alguns exemplos.
Leis causais. Quando a implicação lógica é interpretada como causar na linguagem natural.
1. Sejam as sentenças
A ≡ “Este pote d’água for colocado no fogo no instante t0 ” e
B ≡ “A água congelará”.

A sentença A só é falsa no caso de o pote não ser colocado no fogo no instante indicado. Coloquemos o pote no fogo num instante t distinto de t₀ . Logo, A é falsa.
Consideremos a sentença
(A → B) ≡ “Se este pote d’água for colocado no fogo no instante t 0 então a água congelará”.
De acordo com a tabela-verdade da implicação, (A → B) é verdadeira, independentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situação absurda !