Objetivo da aula: Conceitos Básicos de Circuitos Digitais (Álgebra de Boole, Portas Lógicas e Circuitos Combinacionais).

Introdução

A álgebra de Boole, desenvolvida em meados do século XIX, possibilitou o desenvolvimento de todos os equipamentos digitais como computadores, telefone celular, MP3 entre outros. A implementação de circuitos digitais foi um salto significativo para a eletrônica, pois as limitações existentes no sistema analógicos foram superadas. Os sistemas digitais respondem às funções lógicas AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO). Todos os blocos lógicos que implementam qualquer sistema digital são combinações das três funções básicas.

Funções: AND (E) , OR (OU) e NOT (NÃO)

Existem apenas dois estados para uma função lógica:

• o estado 0 (zero), o estado da não condução (ausência de tensão); e
• o estado 1 (um), o estado da condução (presença de tensão).

Os blocos lógicos ou portas lógicas podem assumir apenas dois níveis lógicos: 0 ou 1.

Função AND ou E

Essa função executa a multiplicação dos níveis lógicos (estados lógicos) presentes em suas entradas.

Função E ou AND → S = A . B

• se J1 e J2 abertas, lâmpada X1 não acende;
• se J1 aberta e J2 fechada, lâmpada X1 não acende;
• se J1 fechada e J2 aberta, lâmpada X1 não acende; e
• se J1 e J2 fechadas, lâmpada X1 acende.

Porta lógica AND ou E

É o bloco lógico que leva em sua saída o nível lógico 1 apenas quando todas as suas entradas forem nível lógico 1, ou seja, executa a função lógica E.

Função lógica OR ou OU

Essa função deixa sua saída em nível lógico alto (1) quando uma ou mais entradas estiverem em nível lógico alto e é representada pela adição dos níveis lógicos das suas entradas.

Função OU (OR) → S = A + B

A lâmpada acenderá quando apenas uma ou todas as chaves – J1 e J2 – estiverem fechadas e somente apagará se todas as chaves – J1 e J2 – estiverem abertas.

Porta lógica OR ou OU

É o bloco lógico que leva em sua saída o nível lógico 1 quando apenas uma de suas entradas apresentar nível lógico 1.

Função lógica NOT ou NÃO

É a função que complementa (“inverte”) o estado lógico de uma variável; ou seja, se o nível lógico de uma função é baixo (zero), a função complementa (“inverte”) para nível alto (1) e vice-versa.

Função NÃO (NOT) → S = Ā

Enquanto a chave J1 estiver aberta, a lâmpada acenderá; fechando a chave J1, a lâmpada apagará, pois a corrente elétrica sempre irá fluir pelo caminho que oferece menor resistência elétrica, no caso o “caminho” com J1 fechada ao invés da lâmpada X1, que é uma resistência pura.

Porta lógica NOT ou NÃO (INVERSOR)

É o bloco lógico que inverte o estado lógico de uma variável, ou seja, quando a entrada está em nível lógico 1, teremos na saída nível lógico zero. Esta porta lógica executa a função lógica NOT.

Observações:

A negação de um elemento também pode ser chamada de o seu complementar, ou seja, Ā é o complementar de A.

Existem outras funções lógicas que são combinações das funções básicas (E,OU, NÃO); a partir dessas funções, foram criadas as portas lógicas NAND , NOR , XOR e XNOR.

Porta NAND OU NE

É o bloco lógico que executa a função lógica NE. Essa porta lógica produz um 0 em sua saída apenas quando todas as entradas são 1.

Porta lógica NOR ou NOU

É o bloco lógico que produz nível lógico zero em sua saída quando uma ou mais entradas são 1.

Porta lógica OU-EXCLUSIVA (XOR)

É o bloco lógico que produz nível lógico 1 em sua saída apenas quando as entradas A e B estão em níveis lógicos diferentes.

Porta lógica COINCIDÊNCIA (XNOR)

É o bloco lógico que produz nível lógico 1 em sua saída apenas quando as entradas A e B estão em níveis lógicos iguais.

As portas lógicas podem ter mais de duas entradas e irão executar suas respectivas tabelas-verdade de acordo com suas funções lógicas correspondentes. Na prática todas as portas lógicas estão sob a forma de circuitos integrados (CI).

Interligação das portas lógicas

As portas lógicas básicas podem apresentar mais de duas entradas; esses blocos lógicos são a base de qualquer sistema digital. Quando as portas se interligam, formam um circuito lógico que produz em sua saída uma expressão lógica (expressão booleana). A combinação das portas lógicas forma um circuito combinacional, pois a saída desses circuitos só depende das variáveis de entrada.

Exemplos de circuitos lógicos:

		A porta AND multiplica as entradas A e B A porta NOT inverte C A porta OU soma as saídas das portas AND e NOT Portanto a saída do circuito será:

Circuito lógico, expressão booleana e tabela-verdade

Com o circuito lógico podemos obter a sua expressão booleana e, a partir desta, sua respectiva tabela-verdade, sendo as possíveis situações assumidas pela expressão lógica.

Exemplo resolvido: Determine a expressão booleana e construa a tabela-verdade.

Podemos observar que a saída S é o resultado da soma de quatro portas AND, sendo que algumas entradas estão negadas.

Usaremos a notação A’ para Ā.

S = A’B’C’+A’B’C+ABC’+ABC

Saída do circuito.

 

Exemplo resolvido: Determine a expressão booleana e construa a tabela-verdade do circuito abaixo.

Álgebra de Boole

Introdução

George Boole, um matemático inglês, em meados do século XIX desenvolveu uma teoria completamente diferente para a época, baseada em uma série de postulados e operações simples para resolver uma infinidade de problemas.

Suas soluções foram então denominadas de álgebra de Boole e possuem a capacidade de resolver problemas práticos de controle e fabricação de produtos. Porém, à época não havia eletrônica nem máquinas suficientemente avançadas para utilizar seus princípios, os quais eram usados apenas pela filosofia.

A álgebra de Boole veio então, com o advento da eletrônica, a se tornar importante especificamente para a eletrônica digital, tornando-se uma importantíssima ferramenta em projetos de circuitos lógicos, pois através desse recurso, um circuito complexo pode ser reduzido a um mais simples, mas executando os mesmos comandos do circuito complexo original.

Veremos agora os postulados e teoremas da Álgebra de Boole, bem como o teorema de De Morgan, que são nossas ferramentas matemáticas na simplificação de expressões booleanas e, como consequência, a simplificação de circuitos lógicos digitais.

Revisando

Antes de vermos os postulados (Postulado ou axioma É uma proposição que não pode ser demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria (AXIOMA, 2012)), leis e princípios da álgebra booleana, vamos rever o que já sabemos.

Adição ou união (OU)

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=1

Multiplicação ou interseção (E)

• 0.0=0
• 0.1=0
• 0.0=0
• 1.1=1

Complemento ou negação

(representaremos a operação de negação com ‘ (apostrofo) e não com – (barrado) sobre o símbolo, pelo fato de o computador não ter o símbolo – disponível para todas as letras);

• 1’= 0
• 0’= 1

Postulados (leis) booleanos

Postulado 1 (Lei do elemento absorvente para a soma lógica)

A soma lógica de uma variável binária mais um (1) lógico equivale a 1 lógico, ou,

• A +1 = 1

Demonstração:

• Para A + 1, se A igual a 0, pela ADIÇÃO, 0 + 1 = 1
• Para A + 1, se A igual a 1, da mesma forma, 1 + 1 = 1
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1), A + 1 será sempre igual a 1.

Postulado 2 (Lei do elemento neutro para a soma lógica)

A soma lógica de uma variável binária mais um zero (0) lógico equivale ao valor da variável binária, ou,

• A+0=A

Demonstração:

• Para A + 1, se A = 0, pela ADIÇÃO, 0 + 1 = 0
• Para A + 1, se A = 1, da mesma forma, 1 + 1 = 1
• Desse modo, verificamos que nas duas hipóteses para o valor da variável A o resultado sempre será o valor dessa variável A.

Postulado 3 (Lei do elemento neutro para a multiplicação lógica)

O produto lógico de uma variável binária por um 1 lógico é igual ao valor da variável binária, ou,

• A⋅1=A

Demonstração:

• Para A . 1, se A = 0, pela MULTIPLICAÇÃO, 0 . 1 = 0
• Para A . 1, se A = 1, da mesma forma, 1 . 1 = 1
• Desse modo, verificamos que nas duas hipóteses para o valor da variável A o resultado sempre será o valor dessa variável A.

Postulado 4 (Lei do elemento absorvente para a multiplicação lógica)

O produto lógico de uma variável binária por um zero (0) lógico é igual a um 0 lógico, ou,

• A⋅0=0

Demonstração:

• Se A = 0, temos que 0 . 0 = 0
• Se A = 1 ,temos que 1 . 0 = 0
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1) o resultado será sempre igual a 0.

Postulado 5 (Lei da idempotência)

Tanto a soma quanto a multiplicação lógica de duas variáveis binárias iguais equivalem ao valor lógico dessa variável binária, ou,

• (1) A + A = A
• (2) A . A = A

Demonstração (1):

• Para A + A, se A = 0, pela ADIÇÃO, 0 + 0 = 0
• Para A + A, se A = 1, da mesma forma, 1 + 1 = 1
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1) A + A será sempre igual a A.

Demonstração (2):

• Para A . A, se A = 0, pela MULTIPLICAÇÃO, 0 . 0 = 0
• Para A . A, se A = 1, da mesma forma, 1 . 1 = 1
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1) A . A será sempre igual a A.

Postulado 6 (Lei do elemento complementaridade para a soma lógica)

A soma lógica de uma variável binária mais a negação da mesma variável binária equivale a 1 lógico, ou,

• A+A’=1

Demonstração:

• Se A = 0, temos que A’ será 1, então 0 + 1 = 1
• Se A = 1, temos que A’ será 0, então 1 + 0 = 1
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1), A + A’ será sempre igual a 1.

Postulado 7 (Lei do elemento complementar idade para a multiplicação lógica)

O produto lógico de uma variável binária mais a negação da mesma variável binária equivale a 0 lógico, ou,

• A⋅A’=0

Demonstração:

• Se A = 0, temos que A’ será 1, então 1 . 0 = 0
• Se A = 1, temos que A’ será 0, então 0 . 1 = 0
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1), A’ . A será sempre igual a 0.

Postulado 8 (Lei da involução)

Se uma variável binária é negada duas vezes, esta não varia, ou,

• A=A

A também pode ser representado por A’’.

Demonstração:

• Se A = 0, então (A’)’ será (1)’ = 0
• Se A = 1, então (A’)’ será (0)’ = 1 =
• Desse modo, independente do valor de A (0 ou 1), A’’ será sempre igual a A.

Este postulado é válido para qualquer número par de negações.

Postulado 9

Se os dois membros de uma igualdade forem negados, esta não sofre qualquer alteração, por exemplo,

• S = A + B → S’ = (A + B)’
• S = A . B → S’ = (A.B)’

Propriedades booleanas

Propriedade comutativa

• Para a adição → A + B = B + A
• Para a multiplicação → A . B = B . A

Propriedade associativa

• Para a adição → A + (B + C) = (A + B) + C
• Para a multiplicação → A . (B . C) = (A . B) . C

Propriedade distributiva

• A . (B + C) = A . B + A . C
• (A . B) + C = (A + C) . (B + C)

Leis booleanas

Lei da absorção

• A + A.B = A

Demonstração:

Evidenciando a variável A, temos, A + AB = A . ( 1 + B )

Porém, pelo postulado 2 temos que 1 + B = 1, então: A + AB = A . 1 = A

• A . (A + B) = A

Demonstração:

• A . (A + B) = (A . A) + (A . B) → Pelo postulado 5: A.A = A
• = A + (A . B) → Evidenciando A teremos
• = A (1 + B) → Pelo postulado 1: (1 + B) = 1
• = A (1) = A

Lei da dualidade

• A·B + A·C = (A + B) · (A + C)

Outras leis importantes

• A + A.B = A + B
• (A + B) . B = A . B
• A.B+A.B=A
• (A + B) . (A + B) = A
• A . (A + B) = A
• A . (A + B) = A . B
• A . B + A . C = (A + C) . (A + B)

Princípio da dualidade

Há um princípio da álgebra booleana conhecido como princípio da dualidade que afirma que:

Para uma expressão booleana qualquer, se trocarmos as operações “E” e as operações “OU” entre si, assim como os valores “0” e “1” entre si, obteremos uma expressão igualmente válida.

Observe exemplos da aplicação do princípio:

• A+0=A→A.1=A
• A+1=1→A.0=0
• A+A=A→A.A=A
• A+A=1→A.A=0

Teoremas de De Morgan

Augustus De Morgan, um matemático inglês contemporâneo de Boole, que chegou inclusive a conhecê-lo, propôs dois teoremas baseados no princípio de que é possível mudar o operador sem alterar a expressão, e que hoje representam uma parte significante na álgebra lógica, ou álgebra booleana.

Primeira lei

A primeira lei de De Morgan afirma que “o complementar da interseção de dois ou mais conjuntos é igual à união dos complementares dos conjuntos iniciais”. Essa lei aplicada à álgebra booleana pode ser interpretada como: “o complementar de uma operação E é igual à operação OU dos seus complementares.” Ou seja:

• (A·B)’=A’+B’

Segunda lei

A segunda lei de De Morgan afirma que “o complementar da união de dois ou mais conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais”. Essa lei aplicada à álgebra booleana pode ser interpretada como: “o complementar de uma operação OU é igual à operação E dos seus complementares”. Ou seja:

• (A+B)’=A’·B’

Exemplos de simplificação usando a álgebra booleana

• A’ B’ C + A’ B C’ =
• = A’ ( B C + BC’ )
• = A’( B ( C + C’ ))
• = A’ ( B ( 1 ))
• = A’ ( B )
• = A’ B

 

• A’ B C + A’ B C’ + A B C’ =
• = A C’ ( B + B’ ) + A’ B C’ =
• = A C ( 1 ) + A’ B C’ =
• = A C’ + A’ B C’ =
• = C’( A + A’ B )
• = C’ ( A + B )

 

• S = ABC + AC’ + AB’
• S = A (BC + C’ + B’)
• S = A (BC + (CB)’)
• S = A (1)
• S=A

 

• S = A’B + A.B’ + AB
• S = A’B + A (B’ + B)
• S = A’B + A
• S = (A’+ A) . (B + A)
• S = 1 . (B + A)
• S=A+B